Minggu, 16 September 2012

Varians


Varians
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Dalam teori probabilitas dan statistikavarians (dari bahasa Inggris: variance) atau ragam suatu perubah acak (atau distribusi probabilitas) adalah ukuran bagi persebaran (dispersi) data. Yang diukur adalah seberapa jauh data tersebar di sekitar rerata). Varians merupakan salah satu parameter bagi distribusi normal. Akar dari varians dikenal sebagai simpangan baku (standard deviation). Istilahvarians pertama kali diperkenalkan oleh Fisher dalam makalahnya pada tahun 1918 yang berjudul The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance ("Korelasi di Antara Kerabat dalam Kerangka Pewarisan Mendel").

Batasan

Jika sebuah variabel random X mempunyai nilai rata-rata μ = E[X], maka varians dari X adalah:

\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^2 \right]. \,

[sunting]Variabel Acak Kontinu

Jika variabel random X berasal dari data continues dengan fungsi probabilitas densiti f(x),
\operatorname{Var}(X) =\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx\,,
dimana \mu adalah angka yang diharapkan, contoh.
\mu = \int x \, f(x) \, dx\,,

[sunting]Variabel Acak Diskret

Jika variabel random X berasal dari data Discrete dengan fungsi probabilitas massa (probability mass function) x1 ↦ p1, ..., xn ↦ pn, maka
\operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2
Dimana \mu adalah nilai yang diharapkan, seperti:
\mu = \sum_{i=1}^n p_i\cdot x_i  .

[sunting]Contoh

[sunting]Distribusi Eksponensial

Sebuah distribusi eksponensial dimana parameter λ merupakan distribusi continues dengan interval [0,∞). Maka fungsi probabilitas densiti dinyatakan dengan:
f(x) = \lambda e^{-\lambda x},\,
dan nilai yang diharapkan untuk μ = λ−1. Maka, varians menjadi:
\int_0^\infty f(x) (x - \mu)^2\,dx = \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} (x - \lambda^{-1})^2\,dx = \lambda^{-2}.\,
Maka distribusi eksponensial untuk variabel random σ2 = μ2.

[sunting]Lemparan Dadu

Sebuah dadu enam muka dapat dijadikan model untuk menyatakan variabel random discrete dimana angka yang keluar dari 1 sampai 6. Asumsi bahwa keenam muka dadu memiliki kemungkinan yang sama untuk keluar, \textstyle\frac{1}{6}. Angka yang diharapkan adalah (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3.5. Maka varians dapat dihitung:

\begin{align}
\sum_{i=1}^6 \tfrac{1}{6}(i - 3.5)^2 = \tfrac{1}{6}\sum_{i=1}^6 (i - 3.5)^2 & = \tfrac{1}{6}\left((-2.5)^2{+}(-1.5)^2{+}(-0.5)^2{+}0.5^2{+}1.5^2{+}2.5^2\right) \\
& = \tfrac{1}{6} \cdot 17.50 = \tfrac{35}{12} \approx 2.92.
\end{align}
Rumus umum untuk varians dari angka X dari dadu di sisi n adalah:

\begin{align}
\sigma^2=E(X^2)-(E(X))^2
&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i^2-\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i\right)^2 \\
&=\tfrac 16 (n+1)(2n+1) - \tfrac 14 (n+1)^2\\
&=\frac{ n^2-1 }{12}.
\end{align}

Simpangan Baku


Simpangan Baku
Dalam statistika dan probabilitassimpangan baku atau deviasi standaradalah ukuran sebaran statistik yang paling lazim. Singkatnya, ia mengukur bagaimana nilai-nilai data tersebar. Bisa juga didefinisikan sebagai, rata-rata jarak penyimpangan titik-titik data diukur dari nilai rata-rata data tersebut.
Simpangan baku didefinisikan sebagai akar kuadrat varians. Simpangan baku merupakan bilangan tak-negatif, dan memiliki satuan yang sama dengan data. Misalnya jika suatu data diukur dalam satuan meter, maka simpangan baku juga diukur dalam meter pula.
Istilah simpangan baku pertama kali diperkenakan oleh Karl Pearson pada tahun 1894, dalam bukunya On the dissection of asymmetrical frequency curves.
Dalam Statistik, wilayah data yang berada di antara +/- 1 simpangan baku akan berkisar 68.2%, wilayah data yang berada di antara +/- 2 simpangan baku akan berkisar 95.4%, dan wilayah data yang berada di antara +/- 3 simpangan baku akan berkisar 99.7%,

Rumus Simpangan Baku

   Simpangan Baku Populasi

    Simpangan baku untuk populasi disimbolkan dengan σ (sigma) dan didefinisikan dengan rumus:
\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2},

Simpangan Baku Sampel
Simpangan baku untuk sampel disimbolkan dengan s dan didefinisikan dengan rumus:
s = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2},
dimana \scriptstyle\{x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_N\} adalah nilai data dari sampel dan \scriptstyle\overline{x} adalah rata-rata dari sampel.


Twitter Delicious Facebook Digg Stumbleupon Favorites More

 
Design by Free WordPress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Themes | Bluehost