Minggu, 16 September 2012

Varians

11:08 PM Unknown No comments


Varians
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Dalam teori probabilitas dan statistika, varians (dari bahasa Inggris: variance) atau ragam suatu perubah acak (atau distribusi probabilitas) adalah ukuran bagi persebaran (dispersi) data. Yang diukur adalah seberapa jauh data tersebar di sekitar rerata). Varians merupakan salah satu parameter bagi distribusi normal. Akar dari varians dikenal sebagai simpangan baku (standard deviation). Istilahvarians pertama kali diperkenalkan oleh Fisher dalam makalahnya pada tahun 1918 yang berjudul The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance ("Korelasi di Antara Kerabat dalam Kerangka Pewarisan Mendel").

Batasan

Jika sebuah variabel random X mempunyai nilai rata-rata μ = E[X], maka varians dari X adalah:
\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^2 \right]. \,

[sunting]Variabel Acak Kontinu

Jika variabel random X berasal dari data continues dengan fungsi probabilitas densiti f(x),
\operatorname{Var}(X) =\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx\,,
dimana \mu adalah angka yang diharapkan, contoh.
\mu = \int x \, f(x) \, dx\,,

[sunting]Variabel Acak Diskret

Jika variabel random X berasal dari data Discrete dengan fungsi probabilitas massa (probability mass function) x1 ↦ p1, ..., xn ↦ pn, maka
\operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2
Dimana \mu adalah nilai yang diharapkan, seperti:
\mu = \sum_{i=1}^n p_i\cdot x_i  .

[sunting]Contoh

[sunting]Distribusi Eksponensial

Sebuah distribusi eksponensial dimana parameter λ merupakan distribusi continues dengan interval [0,∞). Maka fungsi probabilitas densiti dinyatakan dengan:
f(x) = \lambda e^{-\lambda x},\,
dan nilai yang diharapkan untuk μ = λ−1. Maka, varians menjadi:
\int_0^\infty f(x) (x - \mu)^2\,dx = \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} (x - \lambda^{-1})^2\,dx = \lambda^{-2}.\,
Maka distribusi eksponensial untuk variabel random σ2 = μ2.

[sunting]Lemparan Dadu

Sebuah dadu enam muka dapat dijadikan model untuk menyatakan variabel random discrete dimana angka yang keluar dari 1 sampai 6. Asumsi bahwa keenam muka dadu memiliki kemungkinan yang sama untuk keluar, \textstyle\frac{1}{6}. Angka yang diharapkan adalah (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3.5. Maka varians dapat dihitung:
\begin{align} \sum_{i=1}^6 \tfrac{1}{6}(i - 3.5)^2 = \tfrac{1}{6}\sum_{i=1}^6 (i - 3.5)^2 & = \tfrac{1}{6}\left((-2.5)^2{+}(-1.5)^2{+}(-0.5)^2{+}0.5^2{+}1.5^2{+}2.5^2\right) \\ & = \tfrac{1}{6} \cdot 17.50 = \tfrac{35}{12} \approx 2.92. \end{align}
Rumus umum untuk varians dari angka X dari dadu di sisi n adalah:
\begin{align} \sigma^2=E(X^2)-(E(X))^2 &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i^2-\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i\right)^2 \\ &=\tfrac 16 (n+1)(2n+1) - \tfrac 14 (n+1)^2\\ &=\frac{ n^2-1 }{12}. \end{align}

0 komentar:

Posting Komentar

Twitter Delicious Facebook Digg Stumbleupon Favorites More

 
Design by Free WordPress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Themes | Bluehost